Question

【題目】在四棱錐中，．

（1）設與相交于點，，且平面，求實數的值；

（2）若，且，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）由AB∥CD，得到，由MN∥平面PCD，得MN∥PC，從而，由此能實數m的值．

（2）由AB＝AD，∠BAD＝60°，知△ABD為等邊三角形，推導出PD⊥DB，PD⊥AD，從而PD⊥平面ABCD，以D為坐標原點，的方向為x，y軸的正方向建立空間直角坐標系，由此能求出二面角B﹣PC﹣D的余弦值．

（1）因為,所以．

因為平面，平面，平面平面，

所以．

所以，即．

（2）因為,可知三角形ABD為等邊三角形，

所以，又，故，所有．

由已知，所以平面，

如圖，以為坐標原點，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，

設，則，

所以,

則，

設平面的一個法向量為，則有

即 令，則，即，

設平面的一個法向量為,則有

即令，則，即．

所以，

設二面角的平面角為 ，則