Question

【題目】已知函數(shù)，是實(shí)數(shù).

(1)若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，求的值，并求方程的解；

(2)若對任意的恒成立，求的取值范圍；

(3)若，方程有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；

（2）；

（3）或；

【解析】

（1）可根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)，也可根據(jù)特殊點(diǎn)求，再進(jìn)行驗(yàn)證即可；令結(jié)合一元二次方程的解法即可求解；

（2）可采用分離常數(shù)法得對任意的恒成立，令，，令，則，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求解；

（3）時(shí)，，化簡得，采用構(gòu)造函數(shù)法，令，轉(zhuǎn)化為方程在上有解，再結(jié)合二次函數(shù)對稱軸與增減性進(jìn)一步求解即可

(1)方法一：因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，

所以對任意恒成立，

即對任意恒成立，

整理得對任意恒成立，

所以.

方法二：因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，解得

檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)，

所以

此時(shí).

因?yàn)?/span>，即，整理得

解得或 (舍).

所以.

(2)因?yàn)?/span>對任意的恒成立，

所以，即對任意的恒成立.

令，則，

令，所以

在上單調(diào)遞增，

所以

所以，所以.

(3)當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?/span>，

所以.

令，則，

轉(zhuǎn)化為方程在上有解.

令，

①當(dāng)時(shí)，在為增函數(shù)

所以，得.

②當(dāng)時(shí)，需，

即，解得，

所以或.