Question

(本小題滿分15分) 如圖，在三棱錐中，，，點分別是的中點，底面．
（1）求證：平面；
（2）當時，求直線與平面所成角的正弦值；
（3）當為何值時，在平面內的射影恰好為的重心．

Answer 1

（1）證明見解析。
（2）
（3）

（1）證明：平面，．
以為原點，建立如圖所示空間直角坐標系．

設，則．
設，則．
為的中點，．
，．
，平面．
（2），即，，
可求得平面的法向量．
．
設與平面所成的角為，
則．
與平面所成的角的正弦值為．
（3）的重心，，平面，．又，．．
，即．反之，當時，三棱錐為正三棱錐．
在平面內的射影為的重心．