Question

如圖，PDCE為矩形，ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝CD＝1，PD＝.

（1）若M為PA中點(diǎn)，求證：AC∥平面MDE；
（2）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；
（3）在線段PC上是否存在一點(diǎn)Q（除去端點(diǎn)），使得平面QAD與平面PBC所成銳二面角的大小為？

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）上存在滿足條件.

試題分析：（1）條件中出現(xiàn)了中點(diǎn)，需要證明的結(jié)論為線面平行，因此可以考慮構(gòu)造三角形中位線證明線線平行，因此在矩形中，連結(jié)交于，則點(diǎn)為的中點(diǎn)．則為的中位線，從而，又平面平面可知平面；（2）題中出現(xiàn)了線面垂直，因此可以考慮建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量求解，可以為原點(diǎn)，所在的直線分別為
軸，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件中數(shù)據(jù)，可先寫出點(diǎn)的坐標(biāo)：
，
從而可以得到向量的坐標(biāo)：，因此可求得平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，利用即可求得；
（3）假設(shè)存在滿足已知條件的，由，得，可分別求得平面的法向量為，再由平面的法向量，則由兩平面所成銳二面角大小為可以得到關(guān)于的方程：，可解得或（舍去），方程有解，即說明上存在滿足條件.
試題解析：（1）如圖，在矩形中，連結(jié)交于，則點(diǎn)為的中點(diǎn)．在中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，又∵平面平面，∴平面；
（2）由，則，由平面平面且平面平面，得平面,∴，又矩形中以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，
∴，
設(shè)平面的法向量為，
∵，∴可取，設(shè)直線與平面所成角為，
則；
（3）如圖，假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，則可設(shè)，得，設(shè)平面的法向量為，則由得，
由平面與平面所成的銳二面角為得：，
∴或（舍去），∴所求點(diǎn)為的靠近的一個(gè)三等分點(diǎn)，即在上存在滿足條件．