Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，橢圓E： （a＞b＞0）過點（ ，1），且與直線 x+2y﹣4=0相切．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若橢圓E與x軸交于M、N兩點，橢圓E內部的動點P使|PM|、|PO|、|PN|成等比數列，求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵橢圓E： （a＞b＞0）與直線 x+2y﹣4=0相切，聯立 ，

整理得（ ）x2﹣2 a2x+4a2﹣a2b2=0，

由△=0，可得 …①

∵橢圓E： （a＞b＞0）過點（ ，1），∴ …②

由①②得a2=4，b2=2．∴橢圓E的方程：

（2）解：由（1）得M（﹣2，0））、PN（2，0），設P（m，n）

∵|PM|、|PO|、|PN|成等比數列，

∴|PO|2=|PN||PM|（m2+n2）2=

m2=n2+2，…③

∵ ，∴ =2n2﹣2

∵P在橢圓E內部，∴0≤n2＜1，

∴ ．即 的取值范圍為[﹣2，0）

【解析】（1）由橢圓E： （a＞b＞0）與直線 x+2y﹣4=0相切，聯立 ，由△=0，可得 …①，由橢圓E： （a＞b＞0）過點（ ，1），∴ …②，由①②得a2 ， b2（2）設P（m，n），由|PO|2=|PN||PM|（m2+n2）2= m2=n2+2， ∴ =2n2﹣2，由n的范圍求得其范圍，
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解橢圓的標準方程的相關知識，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．