Question

【題目】已知函數（為自然對數的底數）

（Ⅰ）試討論函數的導函數的極值；

（Ⅱ）若（為自然對數的底數），恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由導數的求導法則得出，利用導數求極值的步驟得出極值。

（Ⅱ）構造函數令，求導得到，利用導數求最值的方法對的值進行分類討論，即可得出實數的取值范圍。

（Ⅰ）的定義域為.，

當時，，函數在單調遞增，函數沒有極值.

當時，由，得，函數在上單調遞減，在上單調遞增.

函數的極小值為，沒有極大值.

（Ⅱ）對，恒成立，即對，，

對，.

令，則 .

①當，即時，對，，在上單調遞增， ，解得，滿足題意.

當時，即，對，，在上單調遞減，

，解得滿足題意.

③當，即時，對于，；對于，.

在上單調遞減，在上單調遞增，

.

即

設，由于在單調遞減，

，即，

滿足題意.

綜上①②③可得，.