Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線（）與橢圓交于，兩點（點在軸的上方）.

（1）若，求的面積；

（2）是否存在實數使得以線段為直徑的圓恰好經過坐標原點？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在實數，使得以線段為直徑的圓恰好經過坐標原點

【解析】

（1）由橢圓方程求得，得，由直線方程與橢圓方程聯立可解得交點坐標，當然這里只要得出點的縱坐標，即可求得三角形面積；

（2）這類問題，都是假設存在實數使得以線段為直徑的圓恰好經過坐標原點，則有.設，，從而有，把直線方程與橢圓方程聯立消元后可得，代入，求得值，說明存在，求不出值說明假設錯誤，不存在。

（1）設橢圓的半焦距為，因為，，，所以，，，

聯立化簡得，解得或，又點在軸的上方，所以，所以，

所以的面積為.

（2）假設存在實數使得以線段為直徑的圓恰好經過坐標原點，則有.

設，，

聯立消去得，（*）

則，.

由，所以，即，

整理得，

所以，解得.

經檢驗時（*）中，

所以存在實數，使得以線段為直徑的圓恰好經過坐標原點.