Question

設a=(cos，sin)，b=(cos，sin)，且a與b具有關系|ka+b|=|a-kb|(k＞0).
（1）用k表示a·b；
（2）求a·b的最小值，并求此時a與b的夾角.

Answer 1

（1）a·b=(k＞0）（2）a·b的最小值為，此時向量a與b的夾角為

（1）∵|ka+b|=|a-kb|，
∴(ka+b)²=3(a-kb)²，且|a|=|b|=1，
即k²+1+2ka·b=3(1+k²-2ka·b)，
∴4ka·b=k²+1.∴a·b=(k＞0）.
（2）由（1）知：∵k＞0
∴a·b= =.
∴a·b的最小值為(當且僅當k=1時等號成立)
設a、b的夾角為，此時cos==.
0≤≤,∴=.
故a·b的最小值為，此時向量a與b的夾角為.