Question

【題目】在極坐標系中，曲線C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣ ）= ，C與l有且僅有一個公共點．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）O為極點，A，B為C上的兩點，且∠AOB= ，求|OA|+|OB|的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）曲線C：ρ=2acosθ（a＞0），變形ρ2=2ρacosθ，化為x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．

∴曲線C是以（a，0）為圓心，以a為半徑的圓；

由l：ρcos（θ﹣ ）= ，展開為 ，

∴l的直角坐標方程為x+ y﹣3=0．

由直線l與圓C相切可得 =a，解得a=1．

（Ⅱ）不妨設A的極角為θ，B的極角為θ+ ，

則|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+ ）

=3cosθ﹣ sinθ=2 cos（θ+ ），

當θ=﹣ 時，|OA|+|OB|取得最大值2

【解析】（I）把圓與直線的極坐標方程分別化為直角坐標方程，利用直線與圓相切的性質即可得出a；（II）不妨設A的極角為θ，B的極角為θ+ ，則|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+ ）=2 cos（θ+ ），利用三角函數的單調性即可得出．