Question

【題目】已知在直角坐標系xOy中，曲線C1： （θ為參數），在以平面直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同單位長度的極坐標系中，曲線C2：ρsin（ ）=1．
（1）求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程；
（2）曲線C1上恰好存在三個不同的點到曲線C2的距離相等，分別求這三個點的極坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲線C1： （θ為參數），兩式平方相加可得：x2+y2=4，

曲線C2：ρsin（ ）=1，展開可得： + =1，化為直角坐標方程： =0

（2）解：原點O到直線C2： =0的距離d= =1= r，

直線 y+x=0與圓的兩個交點A，B滿足條件．

聯立 ，解得 或 ，

利用 ，分別化為極坐標A ，B ．

設與直線： =0平行且與圓相切的直線方程為： y+x+m=0，（m＜0）．

聯立 ，化為：4y2+2 my+m2﹣4=0，

令△=12m2﹣16（m2﹣4）=0，解得m=﹣4．

∴ =0，

解得y= ，x=1．

∴切點C ，化為極坐標C ．

∴滿足條件的這三個點的極坐標分別為：極坐標A ，B ，C ．

【解析】（1）曲線C1： （θ為參數），兩式平方相加可得直角坐標方程；曲線C2：ρsin（ ）=1，展開可得： + =1，把 代入即可化為直角坐標方程．（2）原點O到直線C2： =0的距離d=1= r，直線 y+x=0與圓的兩個交點A，B滿足條件．聯立 ，解出利用 ，分別化為極坐標A，B．

設與直線： =0平行且與圓相切的直線方程為： y+x+m=0，（m＜0）．與圓的方程聯立化為：4y2+2 my+m2﹣4=0，令△=0，解得m，即可得出．