Question

已知橢圓上的點到橢圓右焦點的最大距離為，離心率，直線過點與橢圓交于兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）上是否存在點，使得當繞轉到某一位置時，有成立？若存在，求出所有點的坐標與的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）；（2）．

試題分析：（1）設，橢圓上的點到橢圓右焦點的最大距離為，離心率，可得求得a和b；（2）由（1）可得橢圓的方程，設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），(ⅰ) 當垂直于軸時，由知，C上不存在點P使成立；（ⅱ）當l不垂直x軸時，設l的方程為y=k（x-1），代入橢圓的方程中整理得方程△＞0．由韋達定理可求得和的表達式，假設存在點P，使成立，則其充要條件為：點P的坐標為（x₁+x₂，y₁+y₂），代入橢圓方程；把A，B兩點代入橢圓方程，最后聯立方程求得c，進而求得P點坐標，因為在橢圓上，
將代入橢圓方程，得，即可求出k的值和P的坐標以及l的方程．
解：（1）由條件知，解得，
所以，故橢圓方程為．
（2）C上存在點，使得當繞轉到某一位置時，有成立．
由（Ⅰ）知C的方程為+=6．設
（ⅰ）當垂直于軸時，由知，C上不存在點P使成立．
（ⅱ）
將
    
于是 , =,
C 上的點P使成立的充要條件是，
設，則
所以 ．因為在橢圓上，
將代入橢圓方程，得：，所以，
當時，， ；
當時，， ．
綜上，C上存在點使成立，
此時的方程為．