Question

已知拋物線C：y²＝2px(p>0)過點A(1，－2)．
(1)求拋物線C的方程，并求其準線方程；
(2)是否存在平行于OA(O為坐標原點)的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點，且直線OA與l的距離等于？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）x＝－1   （2）存在，其方程為2x＋y－1＝0．

(1)將(1，－2)代入y²＝2px，得(－2)²＝2p·1，
所以p＝2．
故所求的拋物線C的方程為y²＝4x，
其準線方程為x＝－1．
(2)假設存在符合題意的直線l，其方程為y＝－2x＋t．
由，得y²＋2y－2t＝0．
因為直線l與拋物線C有公共點，
所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－．
另一方面，由直線OA到l的距離d＝可得＝，解得t＝±1．
因為－1∉[－，＋∞)，1∈[－，＋∞)，
所以符合題意的直線l存在，其方程為2x＋y－1＝0．