Question

已知圓C經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且在軸上截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為，半徑小于5.（1）求直線(xiàn)與圓C的方程；（2）若直線(xiàn)，直線(xiàn)與圓C交于點(diǎn)A、B，且以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線(xiàn)的方程.

Answer 1

（1）直線(xiàn)PQ：，圓C方程：
（2）直線(xiàn)或.

試題分析：（1）根據(jù)直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式求解所求的直線(xiàn)方程是解決本題的關(guān)鍵，根據(jù)待定系數(shù)法設(shè)出圓心坐標(biāo)和半徑，尋找未知數(shù)之間的關(guān)系是求圓的方程的關(guān)鍵，注意弦長(zhǎng)問(wèn)題的處理方法；
（2）利用直線(xiàn)的平行關(guān)系設(shè)出直線(xiàn)的方程，利用設(shè)而不求的思想得到關(guān)于所求直線(xiàn)方程中未知數(shù)的方程，通過(guò)方程思想確定出所求的方程，注意對(duì)所求的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證和取舍．
試題解析：（1）直線(xiàn)PQ的方程為即直線(xiàn)PQ的方程為x+y-2=0，
C在PQ的中垂線(xiàn)即y=x-1上，
設(shè)C（n，n-1），則r²=|CQ|²=（n+1）²+（n-4）²，
由題意，有 ∴n²+12=2n²-6n+17，
∴n=1或5（舍去），r²=13或37（舍去），
∴圓C的方程為．
（2）設(shè)直線(xiàn)l的方程為x+y+m=0，由,消去y得2x²+（2m-2）x+m²-12=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=1-m，x₁x₂=
又∵以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)∠AOB=90°，∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴，將韋達(dá)定理的結(jié)果代入并整理化間得m²+m-12=0，
∴m=3或-4（均滿(mǎn)足△＞0），
∴l(xiāng)的方程為x+y+3=0或x+y-4=0．