Question

【題目】已知兩直線方程與，點在上運動，點在上運動，且線段的長為定值.

（Ⅰ）求線段的中點的軌跡方程；

（Ⅱ）設直線與點的軌跡相交于，兩點，為坐標原點，若，求原點的直線的距離的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）利用已知條件設，，，建立與的關系，利用線段的長化簡計算即可；

（Ⅱ）聯立直線方程與橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，由判別式大于0求得m2＜4k2+1，再由，可得，從而求得k的范圍，再由點到直線的距離公式求出原點O到直線l的距離，則取值范圍可求．

（Ⅰ）∵點在上運動，點在上運動，

∴設，，線段的中點，則有，

∴，

∵線段的長為定值，∴+=8，

即+=8，化簡得.

∴線段的中點的軌跡方程為.

（Ⅱ）設，，聯立得 ，

，化簡得①.

，

，

若，則，即，

所以 ，

即 ，化簡得②，

由①②得，，

因為到直線的距離，所以

又因為，所以，

所以到直線的距離的取值范圍是.