Question

【題目】由甲、乙、丙三個人組成的團隊參加某項闖關游戲，第一關解密碼鎖，3個人依次進行，每人必須在1分鐘內完成，否則派下一個人．3個人中只要有一人能解開密碼鎖，則該團隊進入下一關，否則淘汰出局．根據以往100次的測試，分別獲得甲、乙解開密碼鎖所需時間的頻率分布直方圖．

（1）若甲解開密碼鎖所需時間的中位數為47，求a、b的值，并分別求出甲、乙在1分鐘內解開密碼鎖的頻率；

（2）若以解開密碼鎖所需時間位于各區間的頻率代替解開密碼鎖所需時間位于該區間的概率，并且丙在1分鐘內解開密碼鎖的概率為0.5，各人是否解開密碼鎖相互獨立．

①求該團隊能進入下一關的概率；

②該團隊以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數目X的數學期望達到最小，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1），，甲、乙在1分鐘內解開密碼鎖的頻率分別是0.9，0.7；（2）①0.985；②先派出甲，再派乙，最后派丙.

【解析】

（1）根據頻率分布直方圖中左右兩邊矩形面積均為計算出中位數，可得出、的值，再分別計算甲、乙在分鐘內解開密碼鎖的頻率值；

（2）①利用獨立事件概率的乘法公式可計算出所求事件的概率；

②分別求出先派甲和先派乙時隨機變量的數學期望，比較它們的大小，即可得出結論。

（1）甲解開密碼鎖所需時間的中位數為47，

，解得；

，解得；

∴甲在1分鐘內解開密碼鎖的頻率是；

乙在1分鐘內解開密碼鎖的頻率是；

（2）由（1）知，甲在1分鐘內解開密碼鎖的頻率是0.9，乙是0.7，丙是0.5，

且各人是否解開密碼鎖相互獨立；

①令“團隊能進入下一關”的事件為，“不能進入下一關”的事件為，

，

∴該團隊能進入下一關的概率為；

②設甲、乙、丙三個人各自能完成任務的概率分別p1，p2，p3，且p1，p2，p3互不相等，

根據題意知X的取值為1，2，3；

則，， ，

，

，

若交換前兩個人的派出順序，則變為，

由此可見，當時，

交換前兩人的派出順序可增大均值，應選概率大的甲先開鎖；

若保持第一人派出的人選不變，交換后兩人的派出順序，

，

∴交換后的派出順序則變為，

當時，交換后的派出順序可增大均值；

所以先派出甲，再派乙，最后派丙，

這樣能使所需派出的人員數目的均值（數學期望）達到最小．