Question

【題目】如圖所示,已知在矩形中,,,平面,且.

（1）問當(dāng)實(shí)數(shù)在什么范圍時(shí),邊上能存在點(diǎn),使得？

（2）當(dāng)邊上有且僅有一個(gè)點(diǎn)使得時(shí),求二面角的余弦值大小.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）建立坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn),則,,由,可得,顯然當(dāng)該方程有非負(fù)實(shí)數(shù)解時(shí),邊上才存在點(diǎn),使得,,即可求得的范圍.

（2）求平面的一個(gè)法向量是和平面的一個(gè)法向量是,由,即可求得二面角的余弦值.

（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn),、、分別為、、軸建立坐標(biāo)系如圖所示:

,,

,,.

設(shè)點(diǎn),則,.

由,得.

顯然當(dāng)該方程有非負(fù)實(shí)數(shù)解時(shí),邊上才存在點(diǎn),使得,

故只須.

,故的取值范圍為.

（2）易見,當(dāng)時(shí),上僅有一點(diǎn)滿足題意,

此時(shí),即為的中點(diǎn),

得:,,.

設(shè)平面的一個(gè)法向量是,

則,,

,,

,取,,,所以.

又平面的一個(gè)法向量是.

,

二面角的余弦值為.