Question

【題目】如圖，四棱錐S﹣ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的 倍，P為側(cè)棱SD上的點．
（1）求證：AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P﹣AC﹣D的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：連BD，設AC交BD于O，由題意SO⊥AC．

在正方形ABCD中，AC⊥BD，

所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD

（2）解：設正方形邊長a，則SD= a．

又OD= a，所以∠SDO=60°，

連OP，由（Ⅰ）知AC⊥平面SBD，

所以AC⊥OP，且AC⊥OD，

所以∠POD是二面角P﹣AC﹣D的平面角．

由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，

所以∠POD=30°，

即二面角P﹣AC﹣D的大小為30°

【解析】（1）連BD，設AC交BD于O，則SO⊥AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD，根據(jù)線面垂直的判定定理可知AC⊥平面SBD，SD平面SBD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知AC⊥SD．（2）設正方形邊長a，求出SD、OD，得到∠SDO，連OP，根據(jù)（Ⅰ）知AC⊥平面SBD，則AC⊥OP，且AC⊥OD，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠POD是二面角P﹣AC﹣D的平面角，然后在三角形POD求出此角即可．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識，掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點．