Question

【題目】已知定義在R上的函數f（x），若f（x）是奇函數，f（x+1）是偶函數，當0≤x≤1時，f（x）=x2 ， 則f（2015）=（ ）
A.﹣1
B.1
C.0
D.20152

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵f（x）是奇函數，f（x+1）是偶函數，∴f（x+1）=f（﹣x+1），則f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x），即f（x+2）=﹣f（x），
∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
則奇函數f（x）是以4為周期的周期函數，
又∵當0≤x≤1時，f（x）=x2 ，
∴f（2015）=f（4×504﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，
故選：A．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數奇偶性的性質的相關知識，掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．