Question

【題目】已知圓 的方程為 ，直線 的方程為 ，點(diǎn) 在直線 上，過點(diǎn) 作圓 的切線 ，切點(diǎn)為 .
（1）若點(diǎn) 的坐標(biāo)為 ，求切線 的方程；
（2）求四邊形 面積的最小值；
（3）求證：經(jīng)過 三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

【答案】
（1）解：①當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為 ；
②當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為 ，
因?yàn)橹本�和圓相切，所以圓心 到切線的距離 ，解得 ，
所以切線方程為 ，即 .
故答案為：所求切線方程為 或
（2）解：四邊形 的面積 ，
所以當(dāng) 最小時(shí)，四邊形 的面積 最小.
又 的最小值是圓心 到直線 的距離，
即 .
故答案為：四邊形 的面積最小值是 .
（3）證明：過 三點(diǎn)的圓即以 為直徑的圓，

設(shè)點(diǎn) ，則圓心坐標(biāo)是 ，
以 為直徑的圓的方程是 ，
化簡(jiǎn)，得 ，
即 .（*）
令 ，解得 或 .
由于不論 為何值，點(diǎn) 、 的坐標(biāo)都適合方程（*），所以經(jīng)過 三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn).
故答案為：定點(diǎn)坐標(biāo)是 和 .
【解析】（1）利用圓心到直線的距離相等求切線方程，注意直線存在的情況；
（2）先將四邊形的面積表示為|PM|的函數(shù)式，通過求|PM|的最值得到四邊形面積的最值；
（3）將圓的方程表示為圓系方程的形式，求出圓過定點(diǎn)的坐標(biāo).
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解點(diǎn)到直線的距離公式的相關(guān)知識(shí)，掌握點(diǎn)到直線的距離為：．