Question

在平面直角坐標系xOy中,將從點M出發沿縱、橫方向到達點N的任一路徑稱為M到N的一條“L路徑”.如圖所示的路徑MM₁M₂M₃N與路徑MN₁N都是M到N的“L路徑”.某地有三個新建的居民區,分別位于平面xOy內三點A(3,20),B(-10,0),C(14,0)處.現計劃在x軸上方區域(包含x軸)內的某一點P處修建一個文化中心.

(1)寫出點P到居民區A的“L路徑”長度最小值的表達式(不要求證明).
(2)若以原點O為圓心,半徑為1的圓的內部是保護區,“L路徑”不能進入保護區,請確定點P的位置,使其到三個居民區的“L路徑”長度之和最小.

Answer 1

(1)|x-3|+|y-20|,x∈R,y∈[0,+∞)
(2)在點P(3,1)處修建文化中心,可使該文化中心到三個居民區的“L路徑”長度之和最小.

【解題指南】本題考查了絕對值函數和絕對值不等式的應用.
解：設點P的坐標為(x,y),
(1)點P到居民區A的“L路徑”長度最小值為|x-3|+|y-20|,x∈R,y∈[0,+∞).
(2)由題意知,點P到三個居民區的“L路徑”長度之和的最小值為點P分別到三個居民區的“L路徑”長度最小值之和(記為d)的最小值.
①當y≥1時,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|,
因為d₁(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|.　(*)
當且僅當x=3時,不等式(*)中的等號成立,
又因為|x+10|+|x-14|≥24.　(**)
當且僅當x∈[-10,14]時,不等式(**)中的等號成立.
所以d₁(x)≥24,當且僅當x=3時,等號成立,
因為d₂(y)=2y+|y-20|≥21,當且僅當y=1時,等號成立.故點P的坐標為(3,1)時,P到三個居民區的“L路徑”長度之和最小,且最小值為45.
②當0≤y≤1時,由于“L路徑”不能進入保護區,所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|.
此時,d₁(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,
d₂(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21.
由①知,d₁(x)≥24,故d₁(x)+d₂(y)≥45,當且僅當x=3,y=1時等號成立.
綜上所述,在點P(3,1)處修建文化中心,可使該文化中心到三個居民區的“L路徑”長度之和最小.