Question

【題目】已知圓： ,直線(xiàn)： .

（Ⅰ）求直線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)的值及最短弦長(zhǎng)；

（Ⅱ）已知坐標(biāo)軸上點(diǎn)和點(diǎn)滿(mǎn)足：存在圓上的兩點(diǎn)和，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；最短弦長(zhǎng)為 （Ⅱ）的取值范圍為

【解析】【試題分析】（1）先依據(jù)題設(shè)求出動(dòng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而斷定其位置在圓內(nèi)，再依據(jù)圓心與該點(diǎn)連線(xiàn)垂直弦最短求出的值及最短弦長(zhǎng)；（2）依據(jù)題設(shè)條件設(shè)兩點(diǎn)和的坐標(biāo)分別為， 進(jìn)而借助求出，再由在圓上，得，由在圓上，

得，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“圓： 與圓： 有交點(diǎn)”，最后建立不等式求出的取值范圍為：

解：（Ⅰ）由，

得，

因?yàn)?/span>的取值是任意的實(shí)數(shù)

所以，

解得，

所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).

又，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，

故當(dāng)時(shí)，所截得的弦長(zhǎng)最短，

由題知圓心，半徑

所以，得，

所以由，

得，

所以圓心到直線(xiàn)的距離為

所以最短弦長(zhǎng)為

（Ⅱ）設(shè)， ，

由

得，

則有

由在圓上，

得，

由在圓上，

得，

所以圓： 與圓： 有交點(diǎn)，

則有，

解得，

故的取值范圍為.