Question

【題目】已知橢圓： 的離心率，左、右焦點分別為， ，點滿足： 在線段的中垂線上．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若斜率為（）的直線與軸、橢圓順次相交于點、、，且，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由在線段的中垂線上得 ，代入點坐標得，解得，再根據，得， ，（2）由，得，設，代入化簡得， ，即，再利用直線方程與拋物線方程聯立方程組，結合韋達定理及判別式恒大于零得， ,且．

試題解析：（Ⅰ）橢圓的離心率，

得，其中，橢圓的左、右焦點分別為， ，

又點在線段的中垂線上，∴ ，∴，

解得， ， ，

∴橢圓的方程為．

（Ⅱ）由題意，直線的方程為，且，聯立，

得，

由，得,且．

設，則有， （）

∵，且由題意，

， 又

， ， ，

整理得，

將（）代入得， ， 知此式恒成立，

故直線斜率的取值范圍是．