Question

【題目】已知橢圓的離心率,過點A（0,-b）和B（a,0）的直線與坐標原點距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知定點E（-1,0）,若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓相交于C、D兩點,試判斷是否存在k值,使以CD為直徑的圓過定點E？若存在求出這個k值,若不存在說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在。

【解析】

試題（1）先由兩點式求出直線方程，再根據(jù)離心率和點到直線距離公式列出方程解出，即可求得；（2）假設存在這樣的直線，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去y，得到x的一元二次方程，求出兩根之和和兩根之積，要使以CD為直徑的圓過點E，當且僅當CE⊥DE時，則，再利用y=kx+2，將上式轉(zhuǎn)化，最后求得，并驗證。

試題解析：（1）直線AB方程為：bx-ay-ab＝0

依題意解得

∴ 橢圓方程為

（2）假設存在這樣的k值，由得

∴①

設， ，，則②

而8分

要使以CD為直徑的圓過點E（-1，0），當且僅當CE⊥DE時，則，即

∴③

將②式代入③整理解得經(jīng)驗證，，使①成立

綜上可知，存在，使得以CD為直徑的圓過點E 。