Question

【題目】已知定義在R上的函數f（x）滿足：f（x）= ，且f（x+2）=f（x），g（x）= ，則方程f（x）=g（x）在區間[﹣5，1]上的所有實根之和為（ ）
A.﹣5
B.﹣6
C.﹣7
D.﹣8

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵f（x）= ，且f（x+2）=f（x），
∴f（x﹣2）﹣2= ；
又g（x）= ，
∴g（x）=2+ ，
∴g（x﹣2）﹣2= ，
當x≠2k﹣1，k∈Z時，
上述兩個函數都是關于（﹣2，2）對稱，；
由圖象可得：方程f（x）=g（x）在區間[﹣5，1]上的實根有3個，
x1=﹣3，x2滿足﹣5＜x2＜﹣4，x3滿足0＜x3＜1，x2+x3=﹣4；
∴方程f（x）=g（x）在區間[﹣5，1]上的所有實根之和為﹣7．
所以答案是；C．

【考點精析】關于本題考查的函數的零點與方程根的關系，需要了解二次函數的零點：（1）△＞0，方程 有兩不等實根，二次函數的圖象與 軸有兩個交點，二次函數有兩個零點;（2）△＝0，方程 有兩相等實根（二重根），二次函數的圖象與 軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點;（3）△＜0，方程 無實根，二次函數的圖象與 軸無交點，二次函數無零點才能得出正確答案．