Question

【題目】函數 是定義在（﹣1，1）上的奇函數，且 ．
（1）確定函數的解析式；
（2）證明函數f（x）在（﹣1，1）上是增函數；
（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為f（x）為（﹣1，1）上的奇函數，所以f（0）=0，即b=0．

又f（ ）= ，所以 = ，解得a=1．

所以f（x）=

（2）證明：任取﹣1＜x1＜x2＜1，

則f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ，

因為﹣1＜x1＜x2＜1，所以x1﹣x2＜0，1﹣x1x2＞0，

所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．

所以函數f（x）在（﹣1，1）上是增函數

（3）解：f（t﹣1）+f（t）＜0可化為f（t﹣1）＜﹣f（t）．

又f（x）為奇函數，所以f（t﹣1）＜f（﹣t），

f（x）為（﹣1，1）上的增函數，所以t﹣1＜﹣t①，且﹣1＜t﹣1＜1②，﹣1＜t＜1③；

聯立①②③解得，0＜t＜ ．

所以不等式f（t﹣1）+f（t）＜0的解集為 ．

【解析】（1）根據奇函數性質有f（0）=0，可求出b，由 可求得a值．（2）根據函數單調性的定義即可證明；（3）根據函數的奇偶性、單調性可去掉不等式中的符號“f”，再考慮到定義域可得一不等式組，解出即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用奇偶性與單調性的綜合的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性．