Question

(2014·貴陽模擬)一個幾何體是由圓柱ADD₁A₁和三棱錐E-ABC組合而成,點A,B,C在圓O的圓周上,其正(主)視圖,側(左)視圖的面積分別為10和12,如圖所示,其中EA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC.AE=2.

(1)求證：AC⊥BD.
(2)求三棱錐E-BCD的體積.

Answer 1

（1）見解析     （2）

(1)因為EA⊥平面ABC,AC?平面ABC,所以EA⊥AC,即ED⊥AC.
又因為AC⊥AB,AB∩ED=A,所以AC⊥平面EBD.
因為BD?平面EBD,所以AC⊥BD.
(2)因為點A,B,C在圓O的圓周上,且AB⊥AC,所以BC為圓O的直徑.
設圓O的半徑為r,圓柱高為h,根據正(主)視圖,側(左)視圖的面積可得,
解得
所以BC=4,AB=AC=2.
以下給出求三棱錐E-BCD體積的兩種方法：
方法一：由(1)知,AC⊥平面EBD,
所以V_E-BCD=V_C-EBD=S_△EBD×CA,
因為EA⊥平面ABC,AB?平面ABC,
所以EA⊥AB,即ED⊥AB.
其中ED=EA+DA=2+2=4,
因為AB⊥AC,AB=AC=2,
所以S_△EBD=ED×AB=×4×2=4,
所以V_E-BCD=×4×2=.
方法二：因為EA⊥平面ABC,
所以V_E-BCD=V_E-ABC+V_D-ABC=S_△ABC×EA+
S_△ABC×DA=S_△ABC×ED.
其中ED=EA+DA=2+2=4,
因為AB⊥AC,AB=AC=2,
所以S_△ABC=×AC×AB=×2×2=4,
所以V_E-BCD=×4×4=.