Question

如圖，在五面體中，四邊形是邊長為的正方形，平面，，，，，是的中點.

（1）求證：平面；
（2）求證：平面；
（3）求五面體的體積.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）.

試題分析：（1）連接交于點，取的中點，連接、，先證明，再利用中位線證明，利用傳遞性證明，進而證明四邊形為平行四邊形，進而得到，最后利用直線與平面平行的判定定理證明平面；（2）證法一是取的中點，先證明四邊形為平行四邊形得到，然后通過勾股定理證明從而得到，然后結合四邊形為正方形得到，最后利用直線與平面垂直的判定定理證明平面；證法二是連接交于點，先利用勾股定理證明，利用得到，再利用等腰三角形中三線合一得到，利用直線與平面垂直的判定定理證明平面，進而得到，然后結合四邊形為正方形得到，最后利用直線與平面垂直的判定定理證明平面；（3）將五面體分割為四棱錐與三棱錐，利用（2）中的結論平面得到平面從而計算三棱錐的體積，利用結論平面以及得到平面以此計算四棱錐的體積，最終將兩個錐體的體積相加得到五面體的體積.
試題解析：（1）連接，與相交于點，則是的中點，連接、，

是的中點，
，，
平面，平面，平面平面，，
，，，四邊形為平行四邊形，
，，
平面，平面，平面；
（2）證法1：取的中點，連接，則，

由（1）知，，且，四邊形為平行四邊形，
，，
在中，，又，得，，
在中，，，，
，，，即，
四邊形是正方形，，
，平面，平面，平面；
證法2：在中，為的中點，.
在中，，，
，，
，，
，平面，平面，，平面，
平面，.
四邊形是正方形，.
平面，平面，，平面.

（3）連接，
在中，，.
由（2）知平面，且，平面.
平面，，平面.
四棱錐的體積為.
三棱錐的體積為.
五面體的體積為.