Question

【題目】已知是由非負整數組成的無窮數列，對每一個正整數，該數列前項的最大值記為，第項之后各項的最小值記為，記．

（1）若數列的通項公式為，求數列的通項公式；

（2）證明：“數列單調遞增”是“”的充要條件；

（3）若對任意恒成立，證明：數列的通項公式為．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據定義可直接求得，從而可計算.

（2）先證明充分性，可根據數列的單調性得到，從而可得，再證明必要性，先從可得，再根據可得，依次類推可以得到，從而得到數列為單調增數列.

（3）當時，我們得到，就全為零和不全為零分類討論即可.

（1）當，數列是遞減數列，最大為，

又，

所以， ，所.

（2）充分性：數列單調遞增，則，

則，

所以.

必要性：對于數列， 即，

當時，，所以，

當時，，，所以，

同理即數列單調遞增，

故“數列單調遞增”是“”的充要條件．

（3）當時，，因為，所以，

所以，

若設全為零，則，

時，故，其中任意的.

若不全為零，設諸中第一個為零的記為，

則中，即，

其中，所以，

因為，所以對任意的總成立，

所以，下面考慮，

因為即，

因為，所以，

故對任意的，總有，

則，因為，

所以，這與任意的，總有矛盾，

所以不全為零不成立，

所以，其中任意的.