Question

【題目】已知函數f（x）=ax2﹣ x+c（a，c∈R）滿足條件：①f（1）=0；②對一切x∈R，都有f（x）≥0
（1）求a、c的值；
（2）若存在實數m，使函數g（x）=f（x）﹣mx在區間[m，m+2]上有最小值﹣5，求出實數m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：法一：當a=0時，f（x）=﹣ x+c．

由f（1）=0得：﹣ +c=0，即c= ，∴f（x）=﹣ x+ ．

顯然x＞1時，f（x）＜0，這與條件②相矛盾，不合題意．

∴a≠0，函數f（x）=ax2﹣ x+c是二次函數．

由于對一切x∈R，都有f（x）≥0，于是由二次函數的性質可得：

，即 （*），

由f（1）=0得 a+c= ，即c= ﹣a，代入（*）得 a（ ﹣a）≥

整理得 a2﹣ a+ ≤0，即（a﹣ ）2≤0．

而（a﹣ ）2≥0，∴a= ，

將a= 代入（*）得，c= ，

∴a=c= ．

法二：當a=0時，f（x）=﹣ x+c．

由f（1）=0得﹣ +c=0，即c= ，

∴f（x）=﹣ x+ ，

顯然x＞1時，f（x）＜0，這與條件②相矛盾，

∴a≠0，因而函數f（x）=a2﹣ x+c是二次函數．

由于對一切x∈R，都有f（x）≥0，于是由二次函數的性質可得：

，由此可知 a＞0，c＞0，

∴ac≤（ ）2．

由f（1）=0，得 a+c= ，代入上式得 ac≤ ，

但前面已推得 ac≥ ，

∴ac= ，

由 解得 a=c=

（2）解：∵a=c= ，∴f（x）= x2﹣ x+ ．

∴g（x）=f（x）﹣mx= x2﹣（vm）x+ ．

該函數圖象開口向上，且對稱軸為x=2m+1．

假設存在實數m使函數g（x）=f（x）﹣mx= x2﹣（ +m）x+ 在區間[m，m+2]上有最小值﹣5．

①當m＜﹣1時，2m+1＜m，函數g（x）在區間[m，m+2]上是遞增的，

∴g（m）=﹣5，

即 m2﹣（ +m）m+ =﹣5，

解得 m=﹣3或m= ，

∵ ＞﹣1，∴m= 舍去

②當﹣1≤m＜1時，m≤2m+1＜m+1，

函數g（x）在區間[m，2m+1]上是遞減的，而在區間[2m+1，m+2]上是遞增的，

∴g（2m+1）=﹣5，

即 （2m+1）2﹣（ +m）（2m+1）+ =﹣5．

解得 m=﹣ ﹣ 或m=﹣ + ，均應舍去．

③當m≥1時，2m+1≥m+2，函數g（x）在區間[m，m+2]上是遞減的，

∴g（m+2）=﹣5，

即 （m+2）2﹣（ +m）（m+2）+ =﹣5．

解得 m=﹣1﹣2 或m=﹣1+2 ，其中m=﹣1﹣2 應舍去．

綜上可得，當m=﹣3或m=﹣1+2 時，函數g（x）=f（x）﹣mx在區間[m，m+2]上有最小值

【解析】（1）首先函數f（x）=ax2﹣ x+c是二次函數，再利用二次函數的性質解決對一切x∈R，都有f（x）≥0；根據f（1）=0得 a+c= ，即c= ﹣a，從而可得 a（ ﹣a）≥ ，進而可得a，c的值， 另解：首先函數f（x）=ax2﹣ x+c是二次函數，再利用二次函數的性質解決對一切x∈R，都有f（x）≥0；由f（1）=0，得 a+c= ，代入上式得 ac≤ ，根據 ac≥ ，可得ac= ，從而得到關于a，c的方程組，故可求a、c的值；（2）g（x）=f（x）﹣mx= x2﹣（ +m）x+ ， x2﹣（ +m）x+ 在區間[m，m+2]上有最小值﹣5．根據函數的對稱軸與區間的關系進行分類討論，從而可求m的值．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減才能正確解答此題．