Question

【題目】選修4－4：坐標系與參數方程

已知曲線的參數方程為（為參數），在同一平面直角坐標系中，將曲線上的點按坐標變換得到曲線．（1）求曲線的普通方程；（2）若點在曲線上，點 ，當點在曲線上運動時，求中點的軌跡方程．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】試題分析：（1）將參數方程轉化為直角坐標系下的普通方程，需要根據參數方程的結構特征，選取恰當的消參方法，常見的消參方法有：代入消參法、加減消參法、平方消參法；（2）將參數方程轉化為普通方程時，要注意兩種方程的等價性，不要增解、漏解，若有范圍限制，要標出的取值范圍；（3）直角坐標方程化為極坐標方程，只需把公式及直接代入并化簡即可；而極坐標方程化為極坐標方程要通過變形，構造形如，，的形式，進行整體代換，其中方程的兩邊同乘以（或同除以）及方程的兩邊平方是常用的變形方法.

試題解析：（1）: ，

將 代入的普通方程得，即；

（2）設 ， 則

所以，即

代入，得，即

中點的軌跡方程為.