【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形
為平行四邊形， 
平面
，且
是
的中點.
（1）求證： 
平面
；
（2）求二面角
的余弦值的大小.
【答案】（1）見解析（2）
【解析】試題分析：（1）取AD的中點N，連接MN、NF．由三角形中位線定理，結合已知條件，證出四邊形MNFE為平行四邊形，從而得到EM∥FN，結合線面平行的判定定理，證出EM∥平面ADF；（2）求出平面ADF、平面BDF的一個法向量，利用向量的夾角公式，可求二面角
的大小.
解析：
（1）解法一：取
的中點
，連接
.
在
中， 
是
的中點， 
是
的中點，
所以
，又因為
，
所以
且
.
所以四邊形
為平行四邊形，所以
，
又因為
平面
平面
，故
平面
.
解法二：因為
平面
，
故以
為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系
.
由已知可得
，
設平面
的一個法向量是
.
由
得
令
，則
.
又因為
，所以
，又
平面
，
故
平面
.
（2）由（1）可知平面
的一個法向量是
.
易得平面
的一個法向量是
所以
，又二面角
為銳角，
故二面角
的余弦值大小為
.
綜合自測系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某集團為了獲得更大的收益，每年要投入一定的資金用于廣告促銷．經調查投入廣告費t(百萬元)，可增加銷售額約為－t2＋5t(百萬元)(0≤t≤5) (注：收益＝銷售額－投放)．
（1）若該公司將當年的廣告費控制在3百萬元之內，則應投入多少廣告費，才能使該公司由此獲得的收益最大？
（2）現該公司準備共投入3百萬元，分別用于廣告促銷和技術改造．經預測，每投入技術改造費x(百萬元)，可增加的銷售額約為－
x3＋x2＋3x(百萬元)．請設計一個資金分配方案，使該公司由此獲得的收益最大．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】高鐵是我國國家名片之一，高鐵的修建凝聚著中國人的智慧與汗水.如圖所示，B、E、F為山腳兩側共線的三點，在山頂A處測得這三點的俯角分別為
、
、
，計劃沿直線BF開通穿山隧道，現已測得BC、DE、EF三段線段的長度分別為3、1、2.
（1）求出線段AE的長度；
（2）求出隧道CD的長度.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】現安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加2022年杭州亞運會志愿者服務活動，有翻譯、導游、禮儀、司機四項工作可以安排，以下說法正確的是（ ）
A. 每人都安排一項工作的不同方法數為
B. 每項工作至少有一人參加，則不同的方法數為
C. 如果司機工作不安排，其余三項工作至少安排一人，則這5名同學全部被安排的不同方法數為
D. 每項工作至少有一人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數是
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列說法中正確的個數是( )
(1) 已知
，
，
，則
(2)將6個相同的小球放入4個不同的盒子中，要求不出現空盒，共有10種放法．
(3) 
被
除后的余數為
．
(4) 若
，則
＝
(5)拋擲兩個骰子，取其中一個的點數為點
的橫坐標，另一個的點數為點的縱坐標，連續拋擲這兩個骰子三次，點在圓
內的次數
的均值為
A. 1B. 2C. 3D. 4
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知定義在
上的函數
和數列
滿足下列條件：
，
，當
且
時，
且
，其中
、
均為非零常數．
（1）若是等差數列，求實數的值；
（2）令
（），若
，求數列
的通項公式；
（3）令（），若
，數列
滿足
，若數列有最大值
，最小值
，且
，求的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列說法正確的是( )
A. 若命題
都是真命題,則命題“
”為真命題
B. 命題“
”的否定是“
,
”
C. 命題:“若
,則
或
”的否命題為“若
,則
或
”
D. “
”是“
”的必要不充分條件
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐PABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.
(1)求證：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝4，求平面PBC與平面PDC所成角的余弦值．
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