Question

【題目】已知定義在上的函數和數列滿足下列條件：，，當且時，且，其中、均為非零常數．

（1）若是等差數列，求實數的值；

（2）令（），若，求數列的通項公式；

（3）令（），若，數列滿足，若數列有最大值，最小值，且，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）根據題意，利用等差數列的定義，求得結果；

（2）根據題意，證得數列是等比數列，利用等比數列的通項公式求得結果；

（3）利用累加法求得的通項公式，結合題意，找到數列的最大項和最小項，解不等式求得結果.

（1）由已知， ，

，

由數列是等差數列，得，

又，所以；

（2）由，可得，

當時，，

所以當時，，

且，

所以，數列是首項為1，共比為的等比數列，

所以；

（3）由（2）可得是以為首項，以為公比的等比數列，

所以，

所以，

所以， ，

，，，

累加得：

，

所以，當時也滿足，

所以

若存在最大值，結合的條件，則，

所以是最大項，是最小項，

所以，

由得，解得，

所以的取值范圍為.