Question

【題目】已知函數f（x）=ln（1+x）﹣ax， ．
（Ⅰ）當b=1時，求g（x）的最大值；
（Ⅱ）若對x∈[0，+∞），f（x）≤0恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）證明 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當b=1時， ，x∈（﹣1，+∞），

，

當x∈（﹣1，0）時，g'（x）＞0，g（x）單調遞增；

當x∈（0，+∞）時，g'（x）＜0，g（x）單調遞減；

∴函數g（x）的最大值g（0）=0．

（Ⅱ） ，∵x∈[0，+∞），∴ ．

①當a≥1時，f'（x）≤0恒成立，

∴f（x）在[0，+∞）上是減函數，

∴f（x）≤f（0）=0適合題意．

②當a≤0時， ，

∴f（x）在[0，+∞）上是增函數，

∴f（x）=ln（1+x）﹣ax＞f（0）=0，

不能使f（x）＜0在[0，+∞）恒成立．

③當0＜a＜1時，

令f'（x）=0，得 ，

當 時，f'（x）≥0，

∴f（x）在 上為增函數，

∴f（x）＞f（0）=0，不能使f（x）＜0在[0，+∞）恒成立，

∴a的取值范圍是[1，+∞）．

（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）得 ，

∴ （x＞0），

取 ， ，則 ，

∴

= ，

∴ ，

∴ ．

【解析】（Ⅰ）根據 g ( x )導函數的性質即可得出原函數的最值。（Ⅱ）求出f（x）的導函數，討論導函數在a的不同區間上的性質即可得出滿足題意的a的取值范圍。（Ⅲ）整理已知根據題意利用求和公式由放縮法即可得證。
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值即可以解答此題．