Question

【題目】如圖，四邊形 是等腰梯形， ， ， ，在梯形 中， ，且 ， 平面 .

（1）求證： 平面 ；
（2）若二面角 的大小為 ，求 的長.

Answer 1

【答案】
（1）證明：由已知 ，所以 ，

又因為 平面 ， 平面 ，所以 ，

又因為 ，所以 平面 .

（2）解：因為 平面 ，又由(1)知 ，以 為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系 .

設 ，則 ， ， ， ， ， .

設平面 的法向量為 ，則故

令 ，所以 .

又平面 的一個法向量 ，所以 ，解得 .

所以 的長為 .

【解析】對于（1），要證明線面垂直，根據判定定理，在平面內找到兩條相交直線與所證直線垂直即可.
對于（2）涉及到二面角時，如果二面角的平面角不明顯時，往往建立合適空間直角坐標系，利用平面的法向量的夾角來體現二面角，從而解決問題.