Question

【題目】在如圖的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中點．

（1）求證：AB∥平面DEG；
（2）求證：BD⊥EG；
（3）求二面角C﹣DF﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC． 又∵BC=2AD，G是BC的中點，

∴ ，

∴四邊形ADGB是平行四邊形，∴AB∥DG．∵AB平面DEG，DG平面DEG，∴AB∥平面DEG．

（2）證明：∵EF⊥平面AEB，AE平面AEB，∴EF⊥AE，又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF平面BCFE，

∴AE⊥平面BCFE． 過D作DH∥AE交EF于H，則DH⊥平面BCFE．∵EG平面BCFE，∴DH⊥EG．

∵AD∥EF，DH∥AE，∴四邊形AEHD平行四邊形，∴EH=AD=2，∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，

∴四邊形BGHE為正方形，∴BH⊥EG． 又BH∩DH=H，BH平面BHD，DH平面BHD，∴EG⊥平面BHD．

∵BD平面BHD，∴BD⊥EG．

（3）解：分別以 EB、EF、EA為x軸、y軸、z軸，建立空間坐標系，由已知得

是平面EFDA的法向量．設平面DCF的法向量為n=（x，y，z），∵ ，

∴ ，即 ，令z=1，得n=（﹣1，2，1）． 設二面角C﹣DF﹣E的大小為θ，

則 ，∴二面角C﹣DF﹣E的余弦值為 ．

【解析】（1） 先證明四邊形ADGB是平行四邊形，可得AB∥DG，從而證明AB∥平面DEG．（2） 過D作DH∥AE交EF于H，則DH⊥平面BCFE，DH⊥EG，再證BH⊥EG，從而可證EG⊥平面BHD，故BD⊥EG．（3）分別以 EB、EF、EA為x軸、y軸、z軸，建立空間坐標系，由已知得 是平面EFDA的法向量．
求出平面DCF的法向量為n=（x，y，z），則由 求得 二面角C﹣DF﹣E的余弦值．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的性質，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；垂直于同一個平面的兩條直線平行即可以解答此題．