Question

【題目】已知函數(shù)，，其中是自然對數(shù)的底數(shù).

（Ⅰ）判斷函數(shù)在內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；

（Ⅱ），，使得不等式成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）若，求證：.

Answer 1

【答案】（1）1（2）（3）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理得到零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（Ⅱ）不等式等價(jià)于，根據(jù)導(dǎo)數(shù)分別求兩個(gè)函數(shù)的最小值和最大值，建立不等式求的取值范圍；（Ⅲ）利用分析法逐步找到使命題成立的充分條件，即，證明，求的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）函數(shù)在上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1，，

理由如下：因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)?/span>，所以.

所以函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù).

因?yàn)?/span>，，

根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理得

函數(shù)在上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1.

（Ⅱ）因?yàn)椴坏仁?/span>等價(jià)于，

所以，，使得不等式成立，等價(jià)于，

當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以時(shí)，取得最小值-1，

又，由于，，，

所以，故在區(qū)間上單調(diào)遞增.

因此，時(shí)，取得最大值.

所以，所以，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，要證，只要證，

只要證，

只要證，

由于，只要證.

下面證明時(shí)，不等式成立.

令，則，

當(dāng)時(shí)，，是單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，是單調(diào)遞增.

所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得極小值也就是最小值為1.

令，其可看作點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，

所以直線的方程為：，

由于點(diǎn)在圓上，所以直線與圓相交或相切，

當(dāng)直線與圓相切且切點(diǎn)在第二象限時(shí)，

當(dāng)直線取得斜率的最大值為1.

故時(shí)，；時(shí)，.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，成立.