Question

【題目】已知橢圓C： =1 （a＞b＞0）的短軸長為2，過上頂點E和右焦點F的直線與圓M：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．
（I）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若直線l過點（1，0），且與橢圓C交于點A，B，則在x軸上是否存在一點T（t，0）（t≠0），使得不論直線l的斜率如何變化，總有∠OTA=∠OTB （其中O為坐標原點），若存在，求出 t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）由已知中橢圓C的短軸長為2，可得：b=1，
則過上頂點E（0，1）和右焦點F（0，c）的直線方程為： ，
即x+cy﹣c=0，
由直線與圓M：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．
故圓心M（2，1）到直線的距離d等于半徑1，
即 ，
解得：c2=3，
則a2=4，
故橢圓C的標準方程為： ；
（Ⅱ）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
當直線AB的斜率不為0時，設直線 方程為：x=my+1，代入 得：（m2+4）y2+2my﹣3=0，
則y1+y2= ，y1y2= ，
設直線TA，TB的斜率分別為k1 ， k2 ，
若∠OTA=∠OTB，
則k1+k2= + = =
= =0，
即2y1y2m+（y1+y2）（1﹣t）= + =0，
解得：t=4，
當直線AB的斜率為0時，t=4也滿足條件，
綜上，在x軸上存在一點T（4，0），使得不論直線l的斜率如何變化，總有∠OTA=∠OTB．
【解析】（I）由已知可得：b=1，結合直線與圓M：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切．進而可得c2=3，a2=4，即得橢圓C的標準方程；（Ⅱ）在x軸上是否存在一點T（4，0），使得不論直線l的斜率如何變化，總有∠OTA=∠OTB，聯立直線與橢圓方程，結合∠OTA=∠OTB 時，直線TA，TB的斜率k1 ， k2和為0，可證得結論．
【考點精析】利用橢圓的標準方程對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．