Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=lnx﹣x+2．
（1）求函數(shù)g（x）的極大值；
（2）若關(guān)于x的不等式 在[1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）已知 ，試比較f（tanα）與﹣cos2α的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵g（x）=lnx﹣x+2，（x＞0），則g′（x）= ，

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，

∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，

∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)g（x）取得極大值1

（2）解：mf（x）≥ mlnx﹣ ≥0，

令h（x）=mlnx﹣ ，則h′（x）= ，

∵h(yuǎn)（1）=0，故當(dāng)m（x+1）2﹣2x≥0[1，+∞）在上恒成立時(shí)，

使得函數(shù)h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，

∴m≥ = 在[1，+∞）上恒成立，故m≥ ；

經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)m≥ 時(shí)，函數(shù)h′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立；

當(dāng)m＜ 時(shí)，不滿足題意．

∴m≥

（3）解：令F（α）=ln（tanα）+cos2α，則F′（α）= ，

∵α∈（0， ），∴sin2α＞0，∴F′（α）＞0，

故F（α）單調(diào)遞增，又F（ ）=0，

∴當(dāng)0＜α＜ 時(shí)，f（tanα）＜﹣cos2α；

當(dāng)α= 時(shí)，f（tanα）=﹣cos2α；

當(dāng) ＜α＜ ，f（tanα）＞﹣cos2α

【解析】（1）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，得到g（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出g（x）的極大值即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為mlnx﹣ ≥0，令h（x）=mlnx﹣ ，求出函數(shù)h（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可；（3）令F（a）=ln（tana）+cos2a，求出函數(shù)F（a）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)性，從而比較f（tana）和﹣cos2a的大小即可．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)，掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值即可以解答此題．