Question

在平面直角坐標系中，已知分別是橢圓的左、右焦點，橢圓與拋物線有一個公共的焦點，且過點.

(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設點是橢圓在第一象限上的任一點,連接,過點作斜率為的直線,使得與橢圓有且只有一個公共點,設直線的斜率分別為,,試證明為定值,并求出這個定值；
（III）在第(Ⅱ)問的條件下，作，設交于點，
證明:當點在橢圓上移動時，點在某定直線上.

Answer 1

（Ⅰ）橢圓的方程為；(Ⅱ)3；（III）點在直線上.

試題分析：（Ⅰ）由拋物線的焦點求出橢圓的焦點，又橢圓過點，得：，
且，，解方程組可得橢圓的方程：
(Ⅱ)設出切點的坐標和切線的方程，利用直線和橢圓相切的條件，證明為定值.
（III）利用(Ⅱ)的結果,由,寫出直線的方程,可解出交于點
的坐標,進而證明當點在橢圓上移動時，點在某定直線上.

試題解析：(Ⅰ)由題意得 ，
又，         2分
消去可得，，解得或（舍去），則，
求橢圓的方程為．        4分
(Ⅱ)設直線方程為，并設點，
由.
，         6分
，當時，直線與橢圓相交，所以，，
由得，，       8分
，整理得：.而,代入中得
為定值.        10分
（用導數求解也可，若直接用切線公式扣4分，只得2分）
（III）的斜率為：，又由,
從而得直線的方程為：,聯立方程,
消去得方程，因為， 所以 ，
即點在直線上.         14分