Question

已知線(xiàn)段MN的兩個(gè)端點(diǎn)M、N分別在軸、軸上滑動(dòng)，且，點(diǎn)P在線(xiàn)段MN上，滿(mǎn)足，記點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)W．
(1)求曲線(xiàn)W的方程，并討論W的形狀與的值的關(guān)系；
(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)A、B是曲線(xiàn)W與軸、軸的正半軸的交點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)W交于C、D兩點(diǎn)，其中C在第一象限，求四邊形ACBD面積的最大值．

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)的方程為，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)的方程為，為以原點(diǎn)為圓心、半徑為2的圓；當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)的方程為，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓．（2）.

試題分析：（1）設(shè)出，根據(jù)已知條件以及 ，得到一個(gè)關(guān)系式，化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)形式為，分別討論當(dāng)，，時(shí)所表達(dá)的的形狀；（2）由，則曲線(xiàn)的方程是，得出，再設(shè)，依據(jù)對(duì)稱(chēng)性得，表示出，根據(jù)基本不等式得到，故四邊形面積有最大值.
試題解析：（1）設(shè)，則，而由 ，則，解得，代入得：，化簡(jiǎn)得.
當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)的方程為，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；
當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)的方程為，為以原點(diǎn)為圓心、半徑為2的圓；
當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)的方程為，表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓．
（2）由（1）當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)的方程是，可得．設(shè)，由對(duì)稱(chēng)性可得．因此，四邊形的面積，
即，而，即，所以四邊形的面積當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即且時(shí)取等號(hào)，故當(dāng)C的坐標(biāo)為時(shí)，四邊形面積有最大值.