Question

已知是拋物線(xiàn)上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線(xiàn)的斜率為k， 為坐標(biāo)原點(diǎn).
（Ⅰ）若拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)在直線(xiàn)的下方，求k的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)C為W上一點(diǎn)，且，過(guò)兩點(diǎn)分別作W的切線(xiàn)，記兩切線(xiàn)的交點(diǎn)為，求的最小值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

試題分析：（Ⅰ）直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且斜率為k，所以直線(xiàn)方程可設(shè)為，若焦點(diǎn)在直線(xiàn)的下方，則滿(mǎn)足不等式，代入求的范圍；（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)的方程為，，分別與拋物線(xiàn)聯(lián)立，因?yàn)橹本�(xiàn)和拋物線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)已知，故可利用韋達(dá)定理求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出切線(xiàn)和的方程，進(jìn)而聯(lián)立求交點(diǎn)的坐標(biāo)，再求的最小值即可.
試題解析：（Ⅰ）解：拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為. 由題意，得直線(xiàn)的方程為，
令 ，得，即直線(xiàn)與y軸相交于點(diǎn). 因?yàn)閽佄锞�(xiàn)的焦點(diǎn)在直線(xiàn)的下方，
所以 ，解得 .
（Ⅱ）解：由題意，設(shè)，，，
聯(lián)立方程 消去，得， 由韋達(dá)定理，得，所以 .
同理，得的方程為，. 對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得，
所以?huà)佄锞�(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為，所以切線(xiàn)的方程為， 即. 同理，拋物線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的方程為.聯(lián)立兩條切線(xiàn)的方程解得，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.  因此點(diǎn)在定直線(xiàn)上.因?yàn)辄c(diǎn)到直線(xiàn)的距離，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立． 由，得，驗(yàn)證知符合題意.所以當(dāng)時(shí)，有最小值.