【題目】已知
，函數
，
.
（1）求
的單調區間
（2）討論
零點的個數
【答案】（1）在區間
，
上是增函數；（2）見解析
【解析】
（1）先求導，再根據導數正負判斷函數增減性
（2）先對
求導，可判斷
單調遞增，再通過賦值
和
可判斷存在實數
，使得
，再通過討論在零點處的最小值是小于零還是大于零來進一步判斷零點個數
（1）
的定義域為
，且
，則
，
,
當
時，
，
是減函數； 當
時，
，是增函數
所以
，所以在上，
，
所以在區間，上是增函數.
（2）由題意知
，
令
，因為
，
所以
在
上單調遞增.
又
，
.
所以存在實數，使得
.
在
上，
，是減函數；在
上，
，是增函數.
所以的最小值是
，其中
滿足，即
，
所以
①當
，即
時，的最小值為0，此時有一個零點；
②當
時，
，沒有零點，此時
.
由的單調性，可得
；
③當
時，
，有兩個零點.
又，所以
，
由的單調性，可得
.
綜上所述，當時，沒有零點；
當時，只有1個零點；
當時，有2個零點.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某地區隨著經濟的發展，居民收入逐年增長，銀行儲蓄連年增長，下表是該地區某銀行連續五年的儲蓄存款（年底結算）：
年份 |
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儲蓄存款 |
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為方便研究，工作人員對上表的數據做了如下處理：
，
得到下表：
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|
|
|
（1）用最小二乘法求出
關于
的線性回歸方程
；
（2）通過（1）中的方程，求出
關于
的線性回歸方程，并用所求回歸方程預測
年底，該地儲蓄存款額可達多少？
（附：參考公式，其中
，
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知點E是圓心為O1半徑為2的半圓弧上從點B數起的第一個三等分點，點F是圓心為O2半徑為1的半圓弧的中點，AB、CD分別是兩個半圓的直徑，O1O2＝2，直線O1O2與兩個半圓所在的平面均垂直，直線AB、DC共面.
（1）求三棱錐D﹣ABE的體積；
（2）求直線DE與平面ABE所成的角的正切值；
（3）求直線AF與BE所成角的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
，點
是圓
上的動點，
為線段
的中點，
為線段
上點，且
，設動點的軌跡為曲線
.
（Ⅰ）求曲線的方程；
（Ⅱ）直線與曲線相交于
、
兩點，與圓
相交于另一點
，且點、位于點
的同側，當
面積最大時，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了了解青少年的肥胖是否與常喝碳酸飲料有關，現對30名青少年進行調查，得到如下列聯表：
常喝 | 不常喝 | 總計 | |
肥胖 | 2 | ||
不肥胖 | 18 | ||
總計 | 30 |
已知從這30名青少年中隨機抽取1名，抽到肥胖青少年的概率為
．
（1）請將列聯表補充完整；（2）是否有99.5%的把握認為青少年的肥胖與常喝碳酸飲料有關？
獨立性檢驗臨界值表：
P（K2≥k0） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式：
，其中n=a+b+c+d．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知，橢圓C過點
，兩個焦點為
，
，E，F是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數，直線EF的斜率為
，直線l與橢圓C相切于點A，斜率為
．
求橢圓C的方程；
求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】記拋物線
的焦點為
，點
在拋物線上，
，斜率為
的直線
與拋物線
交于
兩點.
（1）求
的最小值；
（2）若
，直線
的斜率都存在，且
；探究：直線是否過定點，若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.
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