Question

【題目】已知數列滿足：，，設數列的前項和為.證明：

（Ⅰ）；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析； （Ⅱ）見解析； （Ⅲ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）由數學歸納法證得不等式；

（Ⅱ）先利用證明，得數列是遞減數列，則，進而分析法證明原不等式，再構造函數，利用導數證得不等式成立；

（Ⅲ）由（Ⅱ）所證不等式取倒移項得數列的遞推不等式關系，利用累加法得，利用分組求和即可證得數列的前項和；構造，利用導數分析單調性證得，即，同前面的證明過程，可證，即原不等式得證.

（Ⅰ）當時，，所以命題成立；

假設時命題成立，即.則

當時，有，所以.

故對于都有

（Ⅱ）令，即

所以在上單調遞減，則

所以，即，所以數列是遞減數列

故，因此.

要證明，即證

構造函數.

，所以在單調遞減.

故，因此.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知成立，

則由遞推關系累加法可得，故數列的前項和即

構造函數

，所以在單調遞增.

故，得.

所以有，同前推理有，則同前由累加法可得，故同前分組求和的方式得.

因此得證.