Question

【題目】如圖，已知點E是圓心為O1半徑為2的半圓弧上從點B數起的第一個三等分點，點F是圓心為O2半徑為1的半圓弧的中點，AB、CD分別是兩個半圓的直徑，O1O2＝2，直線O1O2與兩個半圓所在的平面均垂直，直線AB、DC共面.

（1）求三棱錐D﹣ABE的體積；

（2）求直線DE與平面ABE所成的角的正切值；

（3）求直線AF與BE所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

由題意知,即為所求三棱錐的高,代入三棱錐的體積公式求解即可;

以O1為坐標原點,，，分別為x、y、z軸的正向，建立空間直角坐標系如圖所示,利用空間向量法分別求出面ABE的法向量和向量的坐標,向量與向量的夾角余弦即為直線DE與平面ABE所成的角的正弦值,進而求出正切值即可;

以O1為坐標原點,，，分別為x、y、z軸的正向，建立空間直角坐標系如圖所示,利用空間向量法,向量所成角的余弦值的絕對值即為所求.

（1）∵，O1E＝2，

∴，

∵直線O1O2與兩個半圓所在的平面均垂直，直線AB、DC共面，

∴三棱錐D﹣ABE的高等于O1O2＝2，

所以.

（2）以O1為坐標原點,，，分別為x、y、z軸的正向

建立空間直角坐標系如圖所示:

則，D（-1,0，2），E，

,

由題意可知,平面ABE的一個法向量為（0，0，1），

設直線DE與平面ABE所成的角為θ，

則sinθ，

因為.∴，

所以即為所求.

（3）以O1為坐標原點,，，分別為x、y、z軸的正向,

建立空間直角坐標系如圖所示:

則A（﹣2，0，0），B（2，0，0），E，F（0，1，2），

所以（2，1，2），，

設直線AF與BE所成角為θ，

則cosθ.

∴直線AF與BE所成角的余弦值為.