Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知直線∶和圓∶，是直線上一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為.

（1）若，求點坐標；

（2）若圓上存在點，使得，求點的橫坐標的取值范圍；

（3）設線段的中點為，與軸的交點為，求線段長的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）先求出到圓心的距離為，設，解方程即得解；（2）設，若圓上存在點，使得，分析得到，即，解不等式得解；（3）設，可得所在直線方程：，點的軌跡為：，根據求出最大值得解.

（1）若，則四邊形為正方形，

則到圓心的距離為，

∵在直線上，設

故，解得，故；

（2）設，若圓上存在點，使得，

過作圓的切線，，∴，∴，

在直角三角形中，∵，

∴，即，∴，

∴，解得，

∴點橫坐標的取值范圍為：；

（3）設，則以為直徑的圓的方程為

化簡得，與聯立，

可得所在直線方程：，

聯立，得，

∴的坐標為，

可得點的軌跡為：，

圓心，半徑.其中原點為極限點（也可以去掉）.

由題意可知，∴.

∴.

∴線段的最大值為.