Question

【題目】已知函數f（x）＝x2ex﹣b，其中b∈R．

（Ⅰ）證明：對于任意x1，x2∈（﹣∞，0]，都有f（x1）﹣f（x2）；

（Ⅱ）討論函數f（x）的零點個數（結論不需要證明）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

（I）利用導數求得函數的最大值和最小值，利用最大值減去最小值來證得不等式成立.（II）當和時，由解析式判斷零點的個數.當時，根據最大值進行分類，得出零點個數.

解：（Ⅰ）f（x）的定義域R，且f′（x）＝x（x+2）ex，

令f′（x）＝0則x1＝0，或x2＝﹣2，

f′（x）＝x（x+2）ex，

x	（﹣∞，﹣2）	﹣2	（﹣2，0）
f′（x）	+	0	﹣
f（x）	增函數	極大值	減函數

∴f（x）在區間（﹣∞，0]上的最大值為；f（﹣2）b，

∵x∈（﹣∞，0]，∴f（x）＝x2ex﹣b≥﹣b，

∴f（x）的最小值為：﹣b，

∴對于任意x1，x2∈（﹣∞，0]，都有f（x1）﹣f（x2）≤f（x）最大值﹣f（x）；

（Ⅱ）f′（x）＝x（x+2）ex，函數f（x）＝x2ex﹣b，

當b＜0時，函數f（x）＝x2ex﹣b＞0恒成立，函數f（x）的零點個數為：0

當b＝0時，函數f（x）＝x2ex，函數f（x）的零點個數為：1

當b時，函數f（x）的零點個數為；2，

當0＜b時，函數f（x）的零點個數為：3，

當b時，函數f（x）的零點個數為：1，