Question

【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形,平面平面, ,點在棱上.

（Ⅰ）求證:直線平面;

（Ⅱ）若平面,求證: ;

（Ⅲ）是否存在點,使得四面體的體積等于四面體的?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ） .

【解析】試題分析：

（Ⅰ）由題意結合面面垂直的性質定理可得平面， ，由菱形的性質可得，故平面；

（Ⅱ）設，由線面平行的性質定理可得，結合菱形的性質可知是的中位線故；

（Ⅲ）點在平面上的射影落在上,設為，結合三棱錐的體積公式和菱形的性質可得.

試題解析：

（Ⅰ）∵平面平面,平面平面,

∴平面

∴

∵底面是菱形

∴

∵, 平面

∴平面

（Ⅱ）設，∵平面, 平面,平面平面

∴

又∵底面是菱形, 是中點

∴是的中位線, 是中點

∴

（Ⅲ）存在點,使得四面體的體積等于四面體的,且

∵平面平面,點在上

∴點在平面上的射影落在上,設為

∵，結合，

∴, 是的三等分點

∴.