Question

【題目】， ， ．

（1）證明：存在唯一實數，使得直線和曲線相切；

（2）若不等式有且只有兩個整數解，求的范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）求出函數的導數，設切點為（x0，y0），得到+x0﹣2=0．設h（x）=ex+x﹣2，根據函數的單調性求出x0的值，判斷結論即可；

（2）根據a（x﹣）＜1，令，根據函數的單調性求出的最小值，通過討論a的范圍，求出滿足條件的a的范圍即可．

試題解析：

（1）設切點為，

則， ，①

和相切，則， ，②

所以，

即，令， ，所以單增，

又因為， ，所以，存在唯一實數，使得，且，

所以只存在唯一實數，使①②成立，即存在唯一實數使得和相切．

（2）令，則，所以，

令，則，由（Ⅰ）可知， 在上單減，在單增，且，故當時， ，當時， ．

當時，因為要求整數解，所以在時， ，所以有無窮多整數解，舍去；

當時， ，又， ，所以兩個整數解為0,1，即所以，即；

當時， ，因為， 在內大于或等于1，所以無整數解，舍去．

綜上， ．