Question

（2009•閘北區二模）和平面解析幾何的觀點相同，在空間中，空間曲面可以看作是適合某種條件的動點的軌跡．一般來說，在空間直角坐標系O-xyz中，空間曲面的方程是一個三元方程F（x，y，z）=0．
（Ⅰ）在直角坐標系O-xyz中，求到定點M₀（0，2，-1）的距離為3的動點P的軌跡（球面）方程；
（Ⅱ）如圖，設空間有一定點F到一定平面α的距離為常數p＞0，即|FM|=2，定義曲面C為到定點F與到定平面α的距離相等（|PF|=|PN|）的動點P的軌跡，試建立適當的空間直角坐標系O-xyz，求曲面C的方程；  
（Ⅲ）請類比平面解析幾何中對二次曲線的研究，討論曲面C的幾何性質．并在圖中通過畫出曲面C與各坐標平面的交線（如果存在）或與坐標平面平行的平面的交線（如果必要）表示曲面C的大致圖形．畫交線時，請用虛線表示被曲面C自身遮擋部分．

Answer 1

分析：（I）設動點P的坐標為（x，y，z），動點P滿足|PM₀|=3，根據空間兩點的距離公式建立等式關系，化簡即可得到點P的軌跡方程；
（II）設動點P（x，y，z），則|PF|=|PN|，根據根據空間兩點的距離公式建立等式關系，化簡即可得到曲面C的方程；
（III）先研究曲面C的對稱性，范圍和頂點等性質，然后根據曲面的性質畫出圖形即可．

解答：解：（Ⅰ）動點P的軌跡是以M₀為原點，以3為半徑的球面
并設動點P的坐標為（x，y，z），動點P滿足|PM₀|=3．
則球面的方程為x²+（y-2）²+（z+1）²=9．
（Ⅱ）設動點P（x，y，z），則|PF|=|PN|
所以

x2+y2+(z- p 2 )2

=|z+

p

2

|
整理得曲面C的方程：x²+y²=2pz      （*）
若坐標系原點建在平面α上的點M處，可得曲面C的方程：x2+y2=2p(z-

p

2

)同樣得分．
（Ⅲ）（1）對稱性：由于P（x，y，z）點關于xOz平面的對稱點（x，-y，z）、關于yOz平面的對稱點（-x，y，z）均滿足方程（*），所以曲面C關于xOz平面與yOz平面對稱．
又由于P（x，y，z）點關于z軸的對稱點（-x，-y，z）滿足方程（*），所以曲面C關于z軸對稱．
（2）范圍：由于x²+y²≥0，所以，z≥0，即曲面C在xOy平面上方．
（3）頂點：令z=0，得x=y=0，即坐標原點在曲面C上，O點是曲面C的頂點．  

點評：本題主要考查了空間兩點的距離公式，以及空間點的軌跡問題和研究曲面性質畫圖，屬于中檔題．