Question

【題目】設拋物線 的焦點為 ，準線為 ，點 在拋物線 上，已知以點 為圓心， 為半徑的圓 交 于 兩點.
（Ⅰ）若 ， 的面積為4，求拋物線 的方程；
（Ⅱ）若 三點在同一條直線 上，直線 與 平行，且 與拋物線 只有一個公共點，求直線 的方程.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由對稱性知， 是等腰三角形.
∵ ，點 到準線的距離為 ，設準線與 軸交于點 ，
即 ， ，
∴ .
∴拋物線方程為 ；
（Ⅱ）由對稱性不妨設 ，則 .
∵點 關于點 對稱，
∴ 點的坐標為 .
∵ 點在準線上，
∴ .
∴ .
∴ 點坐標為 .
∴ .
又∵直線 與直線 平行，
∴ .
由已知直線 與拋物線相切，設切點為 ，
∴ .
∴ .
∴切點 .
∴直線 的方程為 ，即 .
由對稱性可知，直線 有兩條，分別為 ，
【解析】本題考查拋物線與直線的位置關系的綜合應用，具體涉及到拋物線的簡單性質、直線方程的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．